TÉCNICAS DE CONTEO.
Técnicas de conteo:
La composición Como se indicó antes el proceso de la composición se da unido a
la evolución de los esquemas de conteo. Esto es, las distintas estrategias a
través de las cuales el niño soluciona las tareas de composición están
determinadas por el nivel de abstracción que él haya alcanzado en los esquemas
de conteo. Así se pueden distinguir las siguientes estrategias básicas de conteo
en este tipo de actividades:
Conteo uno a uno:
en esta estrategia el niño, ante la exigencia de totalizar dos cantidades
dadas, cuenta uno a uno los elementos de ambas colecciones, determinando que la
última palabra número pronunciada es el resultado de la totalización pedida.
Podría decirse que el niño que realiza este tipo de estrategia está en una
etapa en la que no logra representarse una cantidad como un todo a partir del
cual se puede reiniciar un nuevo conteo. Por esta razón para hallar el total debe
contar uno a uno ambas cantidades.
Completar a partir de
una de las cantidades dadas: en esta estrategia el niño toma como base una
de las cantidades dadas y realiza un conteo completando la segunda cantidad a
partir de la primera. Este conteo completando exige al niño el realizar un
doble conteo: uno que le permitirá determinar el resultado final y el otro, que
le dice cuando parar el primer conteo. Así por ejemplo, para determinar cuánto
se completa al juntar dos colecciones de 4 y 5 caramelos el niño puede
completar un conteo de cinco unidades a partir de 4, diciendo por ejemplo 5, 6,
7, 8, 9, en cuyo caso 5 significa uno más, 6 dos más, 7 tres más, 8 cuatro más
y 9 cinco más, y por lo tanto 9 es el resultado.
Como puede notarse en el gráfico, el niño parará de contar
cuando haya completado cinco ítems en el conteo 2. Ahora bien, según como se
realice el segundo conteo se pueden tener diferentes niveles de abstracción,
que van desde la necesidad de tener los cinco objetos para contarlos (conteo
perceptual), pasando por la posibilidad de representarlos figuralmente, hasta
que pueda ser llevado en la mente como ítems de conteo abstracto.
Totalización sin
realizar el conteo: en este caso el niño logra realizar la totalización sin
necesidad de recurrir al conteo. Esto quiere decir que el niño ya ha
interiorizado dicha descomposición como un hecho numérico, al cual puede
recurrir cada vez que lo necesite.
Es de destacar que
las anteriores estrategias no representan una estructuración jerárquica y
creciente en el proceso de abstracción de la composición, sino que el niño, en
función del contexto de la tarea, y del rango numérico de la misma,
desarrollará una u otra. Esto es, se pueden encontrar niños que frente a una tarea
procedan de una determinada forma, y en otra tarea lo hagan desarrollando
estrategias de otro orden.
Técnicas de conteo:
La descomposición
En la medida que el niño avanza en el trabajo de la
composición, se le deben proponer actividades tendientes a la descomposición,
la cual es su operación inversa. Por tal razón si la composición genera la
suma, esta generará la resta.
La descomposición se da en actividades en las cuales a
partir de una cantidad dada se deben hallar dos o más cantidades (no necesariamente
iguales) tales que al juntarlas completen la cantidad dada. La descomposición
se basa en la composición, y en la medida que el alumno construye estrategias
para la composición de dos cantidades, también podrá desarrollar estrategias
para la realización de la descomposición.
Para que desde la descomposición se pueda generar la resta,
se debe proponer actividades en las cuales el niño dada una cantidad y una de
las partes deba hallar el otro, o actividades de sustraer una cantidad de otra.
Las estrategias que el niño desarrolla para solucionar estas tareas son
similares a las descritas anteriormente para la composición, en tanto que
pueden ser de tipo perceptual, cuando el niño necesita de realizar la actividad
física, de realizar la sustracción o el completar. En el caso de que el niño se
pueda representar las cantidades a operar, puede ser que la tarea sea
solucionada a partir de completar, en cuyo caso se trata de una composición, o
puede ser que se realice la sustracción a través de un conteo descendente que
determina el resultado final y un conteo ascendente interno que determina
cuándo parar el conteo descendente. Por último, puede ser que el niño realice
la operación sin necesidad de recurrir al conteo.
La descomposición es una herramienta muy útil cuando el niño
se ve enfrentado a realizar la suma de dos o más cantidades. Por ejemplo para
sumar 4 y 3 puede descomponer el 4 en 3 y 1, por lo que su suma se transforma
en 3 + 3 + 1, la cual es más fácil de realizar. Igualmente sucede si se trata de
cantidades de rangos más altos. En estos casos la herramienta economiza
cálculos.
PRINCIPIOS DEL CONTEO
Principio de la
correspondencia uno a uno
La correspondencia
uno a uno consiste en la asignación de una sola etiqueta o rótulo verbal a cada
ítem de la colección. De esta manera, para contar la totalidad de sus
elementos, es necesario que a cada uno de ellos se le asigne una sola palabra
de la secuencia numérica convencional. Según los autores, así se establece la
correspondencia término a término entre la serie ordenada de los números
naturales y un conjunto determinado de elementos que forman una colección.
Principio del orden estable
A través de los
ensayos de conteo las etiquetas o rótulos verbales deben ordenarse en la misma
secuencia, es decir, el orden de las palabras dichas ha de ser el mismo y no se
puede alterar. Es necesario que los niños aprendan la secuencia verbal de los
números que ha sido convencionalizada por nuestra comunidad matemática y no
modificarla a lo largo de las diferentes ensayos de conteo. Inicialmente las
secuencias que el niño utiliza son aleatorias y poco a poco, con una práctica
que requiere memorización y experiencias diversas, va aprendiendo la secuencia
estandarizada, hasta que se vuelva fija e inmodificable.
Principio de la irrelevancia del orden
El orden que el niño
utilice para contar los elementos de una colección no importa, es decir que los
objetos pueden rotularse siguiendo cualquier orden, en tanto los otros
principios del conteo no se violen. De esta manera cualquiera que sea el
recorrido que el niño realice para contar, por donde se empiece o se termine,
siempre obtendrá la misma cantidad.
Principio de
abstracción
Este principio le
permite al niño saber que cualquier clase de objetos se puede juntar con el fin
de contarlos. En un sentido más amplio “todo se puede contar”, y los niños
utilizan criterios para organizar por si mismos los objetos en colecciones de
objetos enumerables, es decir suceptibles de ser contados. Esta es la propiedad
de selectividad que tienen las colecciones en general.
Principio de la
cardinalidad
La última etiquela o
rótulo verbal utilizado en la secuencia durante el conteo, es el símbolo de
ítems en la colección. Según los autores, cuando un niño ha terminado de contar
y se le pregunta: “Cuántos hay?”, la respuesta a éste interrogante es una
palabra-número con doble significado:
Representa el nombre
dado al último objeto contado.
Nos informa sobre la
cantidad de objetos que fueron contados.
Una de las tesis
sobre el desarrollo numérico temprano, en que Piaget y Gelman difieren, es con
relación es a la comprensión que el niño tiene de las correspondencias uno a
uno. Piaget, se centra en la compresión del niño, de la correspondencia uno a
uno como una manera de evaluar la equivalencia numérica de las colecciones.
Concluye que los niños preescolares no entienden la relación entre numerosidad
y correspondencia uno a uno.
Gelman y Gallistel se centran en las apreciaciones de los
niños de guardar los números en correspondencia con los objetos al contarlos y
concluyen que los niños preescolares dominan éste aspecto del conteo y que por
supuesto poseen conocimiento de la correspondencia uno a uno. Gelman
especialmente propone que las dificultades de los niños con las tareas de
conservación, descansan en la falta de acceso al conocimiento que está
explícito en su conteo y en otros esquemas de acción, más que en la falta de
conocimiento como Piaget sostiene.
Piaget no asigna importancia, ni significado al conteo
inicial de los niños, argumentando que es producto de la memoria y no una
reflexión significativa del niño sobre la construcción del número. Al mismo
tiempo, muchos investigadores han argumentado que en las tareas de conservación
propuestas por Piaget, subestima el conocimiento de los niños especialmente
porque se le presentan muchas claves que lo llevan al error, por ejemplo, las
claves tipo perceptual. La noción de que las dos colecciones tienen en mismo
número y pueden ponerse en correspondencia uno a uno es central al concepto de
la cardinalidad. Gelman y Gallistel atribuyen a los niños pequeños más
conocimiento sobre la correspondencia uno a uno, que el que Piaget les
atribuye. Ellos caracterizan éste conocimiento como algo que está encajado en
esquemas de acción, especialmente esquemas de comparación y conteo.
Existe sin embargo,
una tercera posición que señala: los niños poseen más conocimiento matemático
que lo que Piaget les atribuyó. Sin embargo, su conocimiento no parece estar
relacionado con los esquemas de conteo y otros esquemas de acción. Una
perspectiva desarrollista basada en la interconexión de procedimientos
numéricos inicialmente separados pueden tener más potencial para dar cuenta de
la mezcla de éstas fortalezas y limitaciones de las habilidades numéricas
tempranas en el niño. A continuación se describen algunos de estos supuestos.
TÉCNICAS PARA CONTAR DE ARTURO BARODY.
En su mayor parte, la capacidad de contar se desarrolla
jerárquicamente (Klahr y Wallace, 1973). Con la práctica, las técnicas para
contar se van haciendo más automáticas y su ejecución requiere menos atención.
Cuando una técnica ya puede ejecutarse con eficiencia, puede procesarse
simultáneamente o integrarse con otras técnicas en la memoria de trabajo (a
corto plazo) para formar una técnica aún más compleja (por ejemplo, Schaeffer,
Eggleston y Scott, 1974). Consideremos qué se necesita para realizar la tarea
aparentemente sencilla de determinar si un conjunto de nueve puntos es “más” o
“menos” que otro de ocho. Realizar esta comparación entre magnitudes numéricas
requiere la integración de cuatro técnicas.
En primer lugar, la técnica más básica es generar
sistemáticamente los nombres de los números en el orden adecuado. A los dos
años de edad, Alexi ya había empezado a dominar la serie numérica oral y, a veces,
podía contar hasta 10 de uno en uno. Sin embargo, cuando se le pedía que
contara objetos, aún no podía decir los números en el orden correcto de forma
coherente. Por ejemplo, a veces no empezaba a contar desde “uno”. Hacia los
tres años de edad, los niños suelen empezar a contar un conjunto a partir de
“uno” y al empezar párvulos ya pueden usar la secuencia correcta para contar
conjuntos de 10 elementos como mínimo (Fuson, Richards y Briars, 1982).
En segundo lugar, las palabras (etiquetas) de la secuencia
numérica deben aplicarse una por una a cada objeto de un conjunto. La acción de
contar objetos se denomina enumeración. Aunque Alexi podía generar la serie
numérica hasta 10 correctamente, no podía enumerar un conjunto de nueve
elementos, y ni siquiera de tres, porque todavía no había aprendido que debe
aplicarse una, y sólo una, etiqueta a cada elemento de un conjunto. La
enumeración es una técnica complicada porque el niño debe coordinar la
verbalización de la serie numérica con el señalamiento de cada elemento de una
colección para crear una correspondencia biunívoca entre las etiquetas y los
objetos. Como los niños de cinco años pueden generar correctamente la serie
numérica y señalar una vez cada uno de los elementos de una colección, pueden
coordinar con eficacia las dos técnicas para ejecutar el acto complejo de la
enumeración (al menos con conjuntos de hasta 10 elementos).
LA REGLA DEL VALOR CARDINAL: la última etiqueta numérica
expresada durante el proceso de enumeración representa el número total de
elementos en el conjunto. En otras palabras, un niño de cinco años puede
resumir la serie “1, 2, 3,..., 9”, con “nueve” y la serie “1, 2, 3, ..., 8” con
“ocho”. Como Alexi no podía ni enumerar conjuntos, no había descubierto que la
última etiqueta de este proceso tiene un significado especial. A sus dos años
de edad, Alexi todavía no asociaba la serie numérica con la definición de la
cantidad de un conjunto.
En cuarto lugar, las tres técnicas acabadas de describir son
indispensables para comprender que la posición en la secuencia define la
magnitud. A los dos años de edad, los números no definían tamaños relativos
para Alexi. Sin embargo, los niños pequeños llegan a aprender, tarde o
temprano, que la serie numérica se asocia a una magnitud relativa. Aun los
niños muy pequeños pueden realizar comparaciones gruesas entre magnitudes como
“10 es más grande que 1”, quizá porque saben que el 10 viene mucho más tarde en
la secuencia de enumeración. Hacia los cinco años, los niños pueden llegar a
hacer con rapidez comparaciones precisas entre magnitudes de números seguidos
como el 8 y el 9, porque están muy familiarizados con las relaciones de
sucesión numérica (“cuando me pongo a contar, el 9 viene después del 8, así que
el 9 es más grande”).
Por tanto, contar para determinar que un conjunto de nueve
puntos es más que un conjunto de ocho no es, cognoscitivamente hablando, un
acto trivial. Aunque los adultos pueden dar por sentadas las cuatro técnicas
implicadas, éstas constituyen un reto intelectual imponente para los niños de
dos años de edad. Cuando lleguen a los cinco años, la mayoría de los niños
habrán dominado estas técnicas básicas y estarán listos para enfrentarse a
nuevos desafíos.
Algunos de ellos
(sobre todo los que proceden de entornos con carencias, los que tienen lesiones
cerebrales o los mentalmente atrasados) pueden no haber llegado a dominar estas
técnicas básicas y necesitarán una atención especial. En lo que resta de
capítulo se describirán con mayor detalle las cuatro técnicas básicas para contar
y otras técnicas más elaboradas que se desarrollan durante las primeras etapas
de la escolarización.
CONTAR ORALMENTE: A una edad tan corta como los dieciocho
meses, los niños empiezan a contar oralmente de uno en uno (“1, 2, 3...”). La
mayoría de los niños de dos años pueden contar “1, 2” pero luego empiezan a
omitir términos (Fuson et al., 1982). Al principio, los niños pueden aprender
partes de la serie numérica hasta 10 para unirlas más adelante. Por ejemplo,
Alexi (hacia los veinte meses de edad) empezó a usar, de una manera regular, la
serie “8, 9, 10”. Más adelante añadió “2, 3, 4” para hacer “2, 3, 4, 8, 9, 10”.
Después añadió el 5 y el 6 y, finalmente, el 1 y el 7 para completar la serie
hasta lo. A los veintiséis meses, Alexi añadió los números de dos cifras 19 y
20 y, muy poco después, insertaba la ristra “11, 12, 13” entre el 10 y el 19.
REGLA DEL VALOR CARDINAL. Al principio, los niños pueden no
darse cuenta de que la enumeración sirve para numerar. Cuando se les pide que
cuenten un conjunto, los niños se limitan a enumerarlo y esperan que esto, en
sí mismo, satisfará al adulto (cosa que ocurre a veces). Si se les pregunta
cuántos objetos acaban de contar, vuelven a enumerar todos los elementos del
conjunto. Por ejemplo, ida, una niña de tres años de edad, enumeró cuatro
estrellas (“1, 2, 3, 4”) sin hacer ningún intento serio de emplear o recordar
la información. Cuando se le preguntó cuántas estrellas había acabado de
contar, alzó los hombros y volvió a enumerarlas otra vez. Como la enumeración
se contempla como un fin en sí misma y no como un medio para llegar a un fin,
los niños muy pequeños pueden no llegar a comprender el sentido de preguntas
como “¿Cuántos hay?”. Ni preocuparse de recordar los resultados de lo que han
contado.
ENUMERACIÓN. Los niños deben aprender que contar objetos
implica algo más que agitar un dedo señalando un conjunto o deslizarlo por
encima de otro mientras pronuncian con rapidez la serie numérica. Aunque los
niños pequeños aprenden con rapidez al menos la parte memorística de la serie
numérica (véase, por ejemplo, Fuson y Hall, 1983) y no tienen problemas para
señalar los objetos de uno en uno (Beckwith y Restle, 1966), coordinar estas
dos técnicas para enumerar un conjunto no es una tarea fácil. En realidad, la
enumeración (sobre todo de conjuntos con más de cuatro elementos) sólo llega a
hacerse automática de una manera gradual (Beckwith y Reside, 1966; Gelman y
Gallistel, 1978, y Schaeffer et al., 1974). Con colecciones grandes y, sobre
todo, desordenadas, los niños tienen que aprender estrategias para llevar la
cuenta de los elementos que han contado y los que no. Cuando los elementos se
ponen en fila, hace falta poco esfuerzo para no perder la cuenta si se empieza
desde uno de los extremos. Si la colección está colocada en círculo, el niño
sólo necesita recordar el elemento por el que ha empezado a contar. Con
distribuciones desordenadas, el niño debe recordar qué elementos ha etiquetado
y cuáles quedan por etiquetar. Esto se ve facilitado por el empleo de un método
sistemático (por ejemplo, contar de izquierda a derecha y de arriba abajo) o
separando los elementos etiquetados de los no etiquetados. Fuson (en prensa)
encontró que muchos de sus sujetos de párvulos no empleaban la estrategia de
crear un montón aparte con los elementos ya contados.
COMPARACIÓN DE MAGNITUDES: Cuando tienen unos tres años de
edad, los niños descubren que los términos para contar más altos se asocian a
magnitudes superiores (Wagner y Walters, 1982). Así se dan cuenta de que “dos”
no sólo sigue a “uno” sino que también representa una cantidad mayor. Hacia los
3 años y medio, los niños suelen apreciar que “tres” es mayor que “dos”
(Shaeffer et al., 1974). Partiendo de estos datos, los niños de cerca de cuatro
años de edad parecen descubrir una regla general: el término numérico que viene
después en la secuencia significa “más” que el término de un número anterior.
Aun antes de entrar en la escuela, los niños parecen usar su representación
mental de la serie numérica para hacer comparaciones toscas, pero eficaces,
entre magnitudes, es decir, para comparar con rapidez y exactitud dos números
bastante separados entre sí dentro de la secuencia (por ejemplo, el 3 y el 9, o
el 2 y el 8) (Resnick, 1983). A medida que la relación “el siguiente de” se va
haciendo automática, los niños pueden llegar a ser capaces de hacer
comparaciones entre magnitudes más próximas (entre números seguidos). En
realidad, cuando la mayoría de los niños empiezan a asistir al parvulario ya
pueden realizar con bastante precisión comparaciones entre números adyacentes
hasta el 5 e incluso hasta el 10.
BIBLIOGRAFÍA.
“COMO COMPRENDE EL NÚMERO EL NIÑO”- Mariela Orozco Hormaza Centro de Investigaciones y Estudios Avanzados
en Psicología, Cognición y Cultura.
