CLASIFICACION Y SERIACION
SEGUN JEAN PIAGET
CLASE
Piaget escribe: "Diremos pues que se puede hablar de clases a
partir del momento (y sólo a partir de este momento) en que el sujeto es
capaz 1) de definirlas en comprensión por el género y la diferencia
específica; y 2) de manipularlas en extensión de acuerdo con relaciones de
inclusión y de pertenencia inclusiva, lo cual supone un control de los
cuantificadores intensivos "todos", "algunos",
"un" y "ningún"."[1] Piaget es taxativo en este punto cuando dice que
solo se puede hablar de clases a partir de ese momento, haciendo referencia a
las operaciones concretas.
Entonces, siguiendo lo dicho por Piaget, las clases están caracterizadas por una relación entre
la comprensión y la extensión.
La comprensión es el conjunto de cualidades comunes a los individuos
de cada una de las clases y el conjunto de las diferencias que distinguen a los
miembros de una clase de otra, ej. A: manzanas + A': naranjas = B: frutas,
donde la comprensión sería las características que tiene que tener una fruta,
color, sabor, etc., para pertenecer a la clase manzanas y las cualidades
diferentes para oponerla a otra clase de frutas, como las naranjas.
La extensión es el conjunto de los miembros de una clase definida por
su comprensión, es decir el número, la cantidad de elementos o de subclases que
pertenecen a otra clase.
La comprensión supone:
1. relaciones de semejanza: son las cualidades comunes a los miembros
de una clase. Por ejemplo lo que tienen en común las manzanas y las naranjas
como para que ambas estén incluidas en la clase jerárquicamente superior de las
frutas.
2. Relaciones de alteridad: son las diferencias entre los miembros de
una clase A con los miembros de una clase A' cuando se parecen bajo B. Es decir
lo que hace que si bien naranjas y manzanas sean frutas, ambas subclases se
excluyen ya que son diferentes, no hay ninguna manzana que sea naranja y
viceversa. Por lo que las llama subclases complementarias (manzanas y naranjas
se complementan incluyéndose en la clase frutas) o disyuntas (porque no tienen
ningún elemento en común, esto es que ningún elemento "manzana"
estará incluido en la subclase disyunta de las naranjas y lo mismo al revés).
La extensión supone:
1. Inclusión de la clase A en la clase jerárquicamente superior B,
relación que verifica la expresión " Todos los A son algunos B" o A
< B. Es decir, retomando nuestro ejemplo, que la clase de todas las manzanas
está incluida en la clase jerárquicamente superior de las frutas.
2. Pertenencia inclusiva que es la relación entre un individuo X y una
clase A de la que forma parte. Esto es que una manzana pertenece a la clase
"manzanas".
Tanto inclusión como pertenencia inclusiva son relaciones
"parte-todo" y están determinadas por la cuantificación intensiva que
es la atribución a los miembros de una clase los cuantificadores todos,
algunos, algún, ninguno, por ej. Todas las manzanas son algunas frutas.
Esto se opone a la pertenencia partitiva en la que X es una parte de
un objeto total, por ej. El triángulo el techo de una casita, como también a la pertenencia esquemática o
identificación de un elemento X por asimilación re cognitiva a un esquema
perceptivo o sensorio motriz, que será explicado con las colecciones figurales.
La génesis de la clasificación parte de un estado de indiferenciación
entre comprensión y extensión, y una falta de control de los cuantificadores
lógicos, hacia una diferenciación y coordinación que permite la relación inclusiva de las
clases, como dijimos, recién en el estadio de las operaciones concretas.
3.- CLASIFICACION
Sabemos que lo que permite el descentramiento que posibilita el pasaje
del estadio preoperatorio al operatorio concreto es la noción de
reversibilidad. Esto quiere decir que el sujeto puede descentrarse por ej. De
los cambios de forma, de los aspectos figurativos de los objetos, lo que
implica que no quede centrado en una sola variable como el color, o en dos
sucesivamente, por ej. Primero centrarse y coleccionar un elemento con otro por
el color y el 3er. elemento por la forma.
Por lo tanto el concepto de reversibilidad, que es una capacidad de
razonar, está asociado a la noción temporal de simultaneidad. Esto quiere decir
que el sujeto es capaz de tener en cuenta dos variables pero de manera
simultánea y no sucesiva como en el estadio anterior. Los esquemas
interiorizados en el preoperatorio se han vuelto ahora reversibles y móviles,
lo que le permite al sujeto poder anticipar para resolver una operación y no
tantear como en el estadio anterior.
La reversibilidad es lo que le permite al niño formar clases aditivas.
En el estadio operatorio concreto el niño logra agrupaciones
elementales de clases y de relaciones, que son grupos incompletos, semirredes
porque carecen de asociatividad completa, tema que no trabajaremos en este
capítulo, lo que resolverá recién en el estadio de las operaciones formales.
Propiedades de las Clases:
1.
No existen elementos sin
clase.
2.
No existen clases aisladas,
tienen una clase complementaria, de A es A', por ej. de la clase manzanas, una
disyunta es la clase naranjas.
3.
La clase A se define por
comprensión, por los caracteres de tipo a. Es decir las características de un
elemento para que pertenezca a la clase de las naranjas.
4.
La clase A solo comprende
elementos de carácter a. Dentro de la clase naranjas no puede haber más que
naranjas.
5.
Las clases complementarias son
disyuntas: A x A'= 0. Es decir que no hay naranja que pertenezca a la clase de
las manzanas y a la inversa.
6.
La clase complementaria A'
comprende los elementos de carácter a'.
7.
Una clase A está incluida en
toda clase superior que comprenda todos sus elementos, comenzando por la más
próxima B, sea A = B - A' o A x B = A o
"Todos los A son algunos B". Todas las naranjas son algunas frutas.
8.
Simplicidad en extensión:
reducir las inclusiones al mínimo compatible con los caracteres en comprensión.
9.
Simplicidad en comprensión:
iguales criterios para distinguir clases del mismo rango.
10. Simetría en las
subdivisiones: B1 = A1 + A'1 =Ø B2 = A2 + A'2.
Clasificar implica que el sujeto tenga en cuenta simultáneamente, si
tomamos como ej. La clase de las flores y las clases complementarias o
disyuntas de las rosas y las margaritas, que todas las margaritas son algunas
flores, es decir que tenga en cuenta las semejanzas que deber tener todas las
margaritas y todas las rosas como para que ambas sean flores, o que todas las
margaritas están incluidas en una clase jerárquicamente superior que son las
flores, sin que se pierdan las diferencias que existen entre rosas y
margaritas.
Esquemáticamente podemos decir:
Para que A + A' = B sea operatorio, y no una reunión intuitiva deben
estar operando:
1.
La reversibilidad: que es la
coordinación de las operaciones directas e inversas.
2.
Movilidad de las partes: es la
conexión creciente entre el método ascendente de clasificación y el método
descendente. El sujeto puede usar simultáneamente para clasificar el método
ascendente que es por ej. partir de un elemento, como una rosa, e incluirla en
la subclase de las rosas (lo que define
la pertenencia inclusiva, un elemento perteneciente a una subclase) e incluir
esta subclase de las rosas dentro de la clase de las flores (lo que define la
inclusión jerárquica, una subclase incluida dentro de una clase jerárquicamente
superior). Y el método descendente que implica partir de la clase superior de
las flores, para arribar pasando por la subclase rosas, al elemento rosa.
3.
Conservación de la clase B
como un Todo, teniendo en cuenta al mismo tiempo la división entre las
subclases A y. Esto es que tenga en cuenta tanto las clases rosas y margaritas
como la clase flores al mismo tiempo.
Recién aquí se logra la inclusión jerárquica que permite la
clasificación.
La inclusión es la coordinación de la extensión y de la comprensión que permite un esquema
anticipador, por el que el sujeto primero razona y luego realiza la operación,
y el control de los todos y algunos, por lo que ya entiende que algunos están
incluido, es parte de los todos.
Sin embargo este no es
el último estadio de la génesis de la clasificación. Lo que no se alcanza el
niño en el estadio de las operaciones concretas es una asociatividad completa,
es decir todas las operaciones incluidas en el grupo matemático, que no es
objeto de este capítulo. En el estadio de las operaciones formales por lo que
se denomina ley de dualidad, logra la siguiente operación: A < B = NO B <
NO A, esto es que si bien la subclase manzanas es menor, está incluida en la
clase frutas, logra razonar que las subclases que no son frutas, como podrían
ser las verduras, son menos que las que no son manzanas, porque se
considerarían no solo las verduras sino todas las frutas que no sean manzanas.
Este razonamiento permite alcanzar el grupo de las 4 transformaciones I N C R.
O sea que el sujeto comprende que las manzanas son menos que las frutas, pero
lo que no es fruta es menor que lo que no es manzanas.
SERIACION.
Es una operación lógica que a
partir de un sistema de referencias, permite establecer relaciones comparativas
entre los elementos de un conjunto, y ordenarlos según sus diferencias, ya sea
en forma decreciente o creciente. Posee las siguientes propiedades:
Transitividad: Consiste en poder
establecer deductivamente la relación existente entre dos elementos que no han
sido comparadas efectivamente a partir de otras relaciones que si han sido
establecidas perceptivamente.
Reversibilidad: Es la posibilidad
de concebir simultáneamente dos relaciones inversas, es decir, considerar a
cada elemento como mayor que los siguientes y menor que los anteriores.
La seriación pasa por las
siguientes etapas:
Primera etapa: Parejas y Tríos
(formar parejas de elementos, colocando uno pequeño y el otro grande) y
Escaleras y Techo (el niño construye una escalera, centrándose en el extremo
superior y descuidando la línea de base).
Segunda etapa: Serie por ensayo y
error (el niño logra la serie, con dificultad para ordenarlas completamente).
Tercera etapa: el niño realiza la
seriación sistemática.
Número: es un concepto lógico de naturaleza
distinta al conocimiento físico o social, ya que no se extraer directamente de
las propiedades física de los objetos ni de las convenciones sáciela, sino que
se construye a través de un proceso de abstracción reflexiva de las relaciones
entre los conjuntos que expresan número. Según Piaget, la formación del
concepto de número es el resultado de las operaciones lógicas como la
clasificación y la seriación; por ejemplo, cuando agrupamos determinado número
de objetos o lo ordenamos en serie. Las operaciones mentales sólo pueden tener
lugar cuando se logra la noción de la conservación, de la cantidad y la
equivalencia, término a término. Consta de las siguientes etapas:
Primera etapa: (5 años): sin
conservación de la cantidad, ausencia de correspondencia término a término.
Segunda etapa (5 a 6 años):
Establecimiento de la correspondencia término a término pero sin equivalencia
durable.
Tercera etapa: conservación del
número.
ZONA DE DESARROLLO PROXIMAL DE
VIGOSKY
"la
distancia entre el nivel real de desarrollo, determinado por la capacidad de
resolver independientemente un problema, y el nivel de desarrollo potencial,
determinado a través de la resolución de un problema bajo la guía de un adulto
o en colaboración con otro compañero más capaz" (cf. Vigotsky, 1988:133).
La idea central, no debería olvidarse, se completa con otras cláusulas que
indican: 1. Lo que hoy se realiza con la asistencia o con el auxilio de una
persona más experta en el dominio en juego, en un futuro se realizará con
autonomía sin necesidad de tal asistencia. 2. Tal autonomía en el desempeño se
obtiene, algo paradójicamente, como producto de la asistencia o auxilio, lo que
conforma una relación dinámica entre aprendizaje y desarrollo. En palabras de
Vigotsky: "Estos ejemplos ilustran una ley evolutiva general para las
funciones mentales superiores, que puede ser aplicada en su totalidad a los
procesos de aprendizaje en los niños. Nosotros postulamos que lo que crea la
ZDP es un rasgo esencial de aprendizaje; es decir, el aprendizaje despierta una
serie de procesos evolutivos internos capaces de operar sólo cuando el niño
está en interacción con las personas de su entorno y en cooperación con algún
semejante. Una vez que se han internalizado estos procesos, se convierten en
parte de los logros evolutivos independientes del niño" (op. cit.: 138).
El contexto de la formulación era relativo a la discusión acerca de los
procesos o concepciones en la evaluación de los niveles de desarrollo o
capacidades cognitivas de un sujeto. Enunciaba una perspectiva crítica al uso
de los Test de Inteligencia, los procedimientos de evaluación intelectual
corrientes. Sin embargo, la categoría de ZDP una vez que comienza a ser
examinada en relación con los conceptos centrales de la Teoría Socio-histórica,
evidencia su carácter nodal para la comprensión de los procesos de constitución
subjetiva y de apropiación cultural. 3. Conviene, por tanto, recordar que el
concepto remite a los procesos de constitución de los Procesos Psicológicos
Superiores que se ha examinado. "Desde este punto de vista aprendizaje no
equivale a desarrollo; no obstante el aprendizaje organizado se convierte en
desarrollo mental y pone en marcha una serie de procesos evolutivos que no
podrían darse nunca al margen del aprendizaje. Así pues el aprendizaje es un
aspecto universal y necesario del proceso de desarrollo culturalmente
organizado y específicamente humano de las funciones psicológicas» (op. cit:
139). 4. El auxilio o asistencia suministrada por el sujeto con mayor dominio
debe reunir una serie de características, las cuales no han sido claramente
desarrolladas por Vigotsky. Obviamente, no toda situación de interacción entre
personas de desigual competencia generan desarrollo. Sólo se afirma que se
requieren instancias de "buen aprendizaje" o, mejor, de buen
aprendizaje y enseñanza. Sabemos que "el 'buen aprendizaje' es sólo aquél
que precede al desarrollo" (op. cit.: 138) y permite su producción.
Recuérdese que el término "obuchenie" utilizado por Vigotsky
significa en verdad "enseñanza-aprendizaje", es decir, aprendizaje en
situaciones de enseñanza. De esto se deriva una de las
"recomendaciones" pedagógicas de Vigotsky, en tanto el buen
aprendizaje (o buena enseñanza) debería operar sobre los niveles superiores de
la ZDP, es decir, sobre aquellos logros del desarrollo todavía en adquisición y
sólo desplegados en colaboración con otro. De allí que la enseñanza debería ir
"a la cabeza" de los procesos de desarrollo.
En términos
quizá aún más generales se trataba de determinar la relación entre las
pre-condiciones establecidas por el nivel de desarrollo previo de los sujetos y
las posibilidades de aprendizaje consecuentes. Operar sobre la Zona de
Desarrollo Próximo posibilitaba trabajar sobre las funciones "en
desarrollo", aún no plenamente consolidadas, pero sin necesidad de esperar
su configuración final para comenzar un aprendizaje, ya que una posibilidad
intrínseca al desarrollo ontogenético parece ser precisamente la de desarrollar
capacidades autónomas en función de participar en la resolución de tareas, en
actividades conjuntas y cooperativas, con sujetos de mayor dominio sobre los
problemas en juego. Si bien en algunos escritos de Vigotsky la generación de
ZDP en los sujetos parece ser relativa con cierta exclusividad a la instrucción
escolar, es conocido que la categoría de ZDP ha sido extendida en su uso, e,
incluso, más desarrollada, en el ámbito de las prácticas de crianza (como en
los procesos de adquisición del habla, el aprendizaje de ciertas rutinas en los
juegos, la resolución de problemas en la interacción conjunta con un adulto,
etc.) que en las prácticas escolares. En verdad es sabido que el propio
Vigotsky afirmó que el juego era un poderoso creador de ZDP, las circunstancias
de esta afirmación son de interés, por lo que les daremos más adelante un breve
tratamiento. Lo importante aquí es recordar que la ZDP obliga a pensar más que
en una capacidad o característica de un sujeto, en las características de un
sistema de interacción socialmente definido. Aunque no resulte inmediatamente
intuible, hay una creciente coincidencia en la interpretación de la ZDP en
términos de "sistema social" más que de capacidades subjetivas. La
idea de sistema definido socialmente implica el reconocimiento de que una
situación dada se define de acuerdo con las representaciones que de ella poseen
los sujetos implicados. Tales representaciones pueden discrepar, y
frecuentemente lo hacen.
PRINCIPIOS
DE CONTEO.
EL
DESARROLLO DE TÉCNICAS PARA CONTAR
Una
jerarquía de técnicas En su mayor parte, la capacidad de contar se desarrolla
jerárquicamente (Klahr y Wallace, 1973). Con la práctica, las técnicas para
contar se van haciendo más automáticas y su ejecución requiere menos atención.
Cuando una técnica ya puede ejecutarse con eficiencia, puede procesarse
simultáneamente o integrarse con otras técnicas en la memoria de trabajo (a
corto plazo) para formar una técnica aún más compleja (por ejemplo, Schaeffer,
Eggleston y Scott, 1974). Consideremos qué se necesita para realizar la tarea
aparentemente sencilla de determinar si un conjunto de nueve puntos es “más” o
“menos” que otro de ocho. Realizar esta comparación entre magnitudes numéricas
requiere la integración de cuatro técnicas.
En primer
lugar, la técnica más básica es generar sistemáticamente los nombres de los
números en el orden adecuado. A los dos años de edad, Alexi ya había empezado a
dominar la serie numérica oral y, a veces, podía contar hasta 10 de uno en uno.
Sin embargo, cuando se le pedía que contara objetos, aún no podía decir los
números en el orden correcto de forma coherente. Por ejemplo, a veces no
empezaba a contar desde “uno”. Hacia los tres años de edad, los niños suelen
empezar a contar un conjunto a partir de “uno” y al empezar párvulos ya pueden
usar la secuencia correcta para contar conjuntos de 10 elementos como mínimo
(Fuson, Richards y Briars, 1982).
En segundo
lugar, las palabras (etiquetas) de la secuencia numérica deben aplicarse una
por una a cada objeto de un conjunto. La acción de contar objetos se denomina
enumeración. Aunque Alexi podía generar la serie numérica hasta 10
correctamente, no podía enumerar un conjunto de nueve elementos, y ni siquiera
de tres, porque todavía no había aprendido que debe aplicarse una, y sólo una,
etiqueta a cada elemento de un conjunto. La enumeración es una técnica
complicada porque el niño debe coordinar la verbalización de la serie numérica
con el señalamiento de cada elemento de una colección para crear una
correspondencia biunívoca entre las etiquetas y los objetos. Como los niños de
cinco años pueden generar correctamente la serie numérica y señalar una vez
cada uno de los elementos de una colección, pueden coordinar con eficacia las
dos e-Educa, Cibercultura para la Educación AC COMPETENCIAS DIDÁCTICAS:
MATEMÁTICAS. LECTURA 1 2 técnicas para ejecutar el acto complejo de la
enumeración (al menos con conjuntos de hasta 10 elementos).
En tercer
lugar, para hacer una comparación, un niño necesita una manera conveniente de
representar los elementos que contiene cada conjunto. Esto se consigue mediante
la regla del valor cardinal: la última etiqueta numérica expresada durante el
proceso de enumeración representa el número total de elementos en el conjunto.
En otras palabras, un niño de cinco años puede resumir la serie “1, 2, 3,...,
9”, con “nueve” y la serie “1, 2, 3, ..., 8” con “ocho”. Como Alexi no podía ni
enumerar conjuntos, no había descubierto que la última etiqueta de este proceso
tiene un significado especial. A sus dos años de edad, Alexi todavía no
asociaba la serie numérica con la definición de la cantidad de un conjunto.
En cuarto
lugar, las tres técnicas acabadas de describir son indispensables para
comprender que la posición en la secuencia define la magnitud. A los dos años
de edad, los números no definían tamaños relativos para Alexi. Sin embargo, los
niños pequeños llegan a aprender, tarde o temprano, que la serie numérica se
asocia a una magnitud relativa. Aun los niños muy pequeños pueden realizar
comparaciones gruesas entre magnitudes como “10 es más grande que 1”, quizá
porque saben que el 10 viene mucho más tarde en la secuencia de enumeración.
Hacia los cinco años, los niños pueden llegar a hacer con rapidez comparaciones
precisas entre magnitudes de números seguidos como el 8 y el 9, porque están
muy familiarizados con las relaciones de sucesión numérica (“cuando me pongo a
contar, el 9 viene después del 8, así que el 9 es más grande”).
Por tanto,
contar para determinar que un conjunto de nueve puntos es más que un conjunto
de ocho no es, cognoscitivamente hablando, un acto trivial. Aunque los adultos
pueden dar por sentadas las cuatro técnicas implicadas, éstas constituyen un
reto intelectual imponente para los niños de dos años de edad. Cuando lleguen a
los cinco años, la mayoría de los niños habrán dominado estas técnicas básicas
y estarán listos para enfrentarse a nuevos desafíos.
Algunos de
ellos (sobre todo los que proceden de entornos con carencias, los que tienen
lesiones cerebrales o los mentalmente atrasados) pueden no haber llegado a
dominar estas técnicas básicas y necesitarán una atención especial. En lo que
resta de capítulo se describirán con mayor detalle las cuatro técnicas básicas
para contar y otras técnicas más elaboradas que se desarrollan durante las
primeras etapas de la escolarización.
CONTAR
ORALMENTE
A una edad
tan corta como los dieciocho meses, los niños empiezan a contar oralmente de
uno en uno (“1, 2, 3...”). La mayoría de los niños de dos años pueden contar
“1, 2” pero luego empiezan a omitir términos (Fuson et al., 1982). Al
principio, los niños pueden aprender partes de la serie numérica hasta 10 para
unirlas más adelante. Por ejemplo, Alexi (hacia los veinte meses de edad)
empezó a usar, de una manera regular, la serie “8, 9, 10”. Más adelante añadió
“2, 3, 4” para hacer “2, 3, 4, 8, 9, 10”. Después añadió el 5 y el 6 y,
finalmente, el 1 y el 7 para completar la serie hasta lo. A los veintiséis meses,
Alexi añadió los números de dos cifras 19 y 20 y, muy poco después, insertaba
la ristra “11, 12, 13” entre el 10 y el 19.
Contar
oralmente suele equipararse con “contar de memoria”. Como ilustra el caso de
Alexi, contar de memoria es una buena descripción de las primeras técnicas
orales que emplean los niños para contar. Su manera de contar era, simplemente,
una cantinela verbal sin sentido. La serie numérica inicial de Alexi parecía no
ser más que una cadena de asociaciones aprendidas de memoria y enlazadas
gradualmente entre sí. Sin embargo, contar de memoria es una descripción menos
adecuada de los posteriores intentos de contar. Con demasiada frecuencia, este
término se emplea para indicar que los niños aprenden toda la serie numérica
por memorización. Aunque la memorización desempeña un papel determinado, sobre
todo durante las etapas iniciales, el aprendizaje regido por reglas tiene una
importancia fundamental para ampliar esta serie. Aunque es probable que los
términos hasta el 1 5 2 se aprendan de memoria, la mayor parte de la serie
numérica posterior puede generarse mediante reglas (Ginsburg, 1982). Los
restantes números hasta el 20 pueden generarse continuando con la secuencia
original (6, 7, 8, 9) y anteponiendo “10 y..”; (por ejemplo, “dieciséis,
diecisiete...”). Los números de la segunda decena (21, 22, 23, ..., 29) se
pueden generar mediante la regla de anteponer “20” a cada una de las unidades
(del 1 al 9) una por una. En realidad, para contar de uno en uno hasta 99 el
niño sólo tiene que aprender esta regla y el orden de las decenas (10, 20,
30..., 90).
Los errores que cometen los niños al contar
son una buena señal de que existen reglas que subyacen a su cuenta oral, sobre
todo de 20 para arriba. Muchos niños (incluyendo los que presentan retraso
mental) se inventan términos como “diecicinco” por 15, “diecidiez” por 20, o
“veintidiez, veintionce”, para 30 y 31 (Baroody y Ginsburg, 1984; Baroody y
Snyder, 1983; Ginsburg, 1982b). Estos errores indican claramente que los niños
no se limitan a imitar a los adultos, sino que tratan de construir sus propios
sistemas de reglas (Baroody y Ginsburg, 1982). Se trata de errores razonables
porque son ampliaciones lógicas, aunque incorrectas, de las pautas de la serie
numérica que el niño ha abstraído. Así, aun los niños mentalmente atrasados
parecen ser capaces de ver, emplear y, a veces, aplicar mal las pautas de la
serie numérica.
Aunque la mayoría de los niños que se acaban
de incorporar a la escuela ya hacen progresos con la parte de la serie numérica
regida por reglas, muchos no se dan cuenta de que las decenas (“10, 20, 30,
90”) siguen una pauta paralela a la secuencia de las unidades (Fuson et al.,
1982). Aún no se sabe con certeza cómo llegan los niños a resolver el “problema
de las decenas”, es decir, su orden correcto para contar hasta 100 de uno en
uno. Una hipótesis es que los niños aprenden las decenas de memoria en forma de
extremos finales de cada serie (por ejemplo, el niño forma la asociación entre
“29-30” o “39-40”). Hay algunos datos que respaldan esta conjetura. Algunos
niños no pueden contar por decenas pero pueden contar hasta 30 ó39 porque
parecen haber aprendido que 30 va después de 29, pero no han aprendido qué va
después de 39 (Baroody y Ginsburg, 1984). Otra hipótesis es que los niños
aprenden las decenas (contar de diez en diez) de memoria y emplean este
conocimiento para rellenar la secuencia de contar de uno en uno. Otra
hipótesis, completamente distinta, es que los niños aprenden las decenas como
una versión modificada de la secuencia del 1 al 9 y emplean esta pauta (repetir
la secuencia de las unidades y añadir -enta) para rellenar la cuenta de uno en
uno. Un ejemplo de esta última hipótesis es el caso de Ten, una niña levemente
atrasada que cuando llegaba al final de una decena (por ejemplo, “..., 58, 59”)
se ponía a contar para sí para averiguar la siguiente decena (por ejemplo, “1,
2, 3, 4, 5, 6 ah, ..., sesenta”) (Baroody y Ginsburg, 1984). Luego iba
repitiendo este procedimiento hasta llegar a 100.
En realidad,
la mayoría de los niños pueden aprender de memoria algunas decenas (hipótesis 1
y 2) y emplear reglas para generar el resto (hipótesis 3). Esto tiene sentido
porque la mayoría de las decenas sigue una pauta y sería ineficaz aprenderlas
todas de memoria. Sin embargo, se puede tener que aprender de memoria la
primera parte, incluyendo quizá algunos casos regulares como 40, antes de
descubrirse la pauta. Por tanto, aprender las decenas (contar de diez en diez)
puede ser algo parecido a aprender a contar de uno en uno: al principio, los
niños adquieren una parte por memorización y luego emplean una pauta para
ampliar la secuencia.
Elaboraciones
de la serie numérica. Con la experiencia, los niños aprenden a usar su
representación mental de la serie numérica con más elaboración y flexibilidad
(Fuson et al., 1982). A medida que se van familiarizando más y más con la serie
numérica correcta, los niños pueden citar automáticamente el número siguiente a
un número dado. A los veintiséis meses, Alison ya podía hacerlo si se le “daba
el pie”.
MADRE: Alison, ¿qué número va después del 9?
ALISON: [No
responde.] MADRE: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y...
ALISON: 10.
De no ser así, Alison no lo podía hacer o sólo lo hacía a veces.
MADRE: ¿Qué
número va después del ocho?
ALISON: El
ocho. MADRE: ¿Y después del dos?
ALISON: El
nueve. MADRE: ¿Y después del seis? ALISON: [No responde.]
MADRE: (Un poco más tarde): ¿Qué va después
del ocho?
ALISON: Nueve, diez. MADRE: ¿Y después del
dos?
ALISON: El
cuatro.
Hacia los
cuatro o cinco años de edad, los niños ya no necesitan empezar desde el 1 para
responder de manera coherente y automática preguntas relativas a números
seguidos, al menos hasta cerca del 28 (Fuson et al., 1982; Ginsburg y Baroody,
1983). Uno de los desarrollos que pueden producirse un poco más tarde es la
capacidad de citar el número anterior. Cuando los niños captan las relaciones
entre un número dado y el anterior, ya está preparado el terreno para contar
regresivamente. Además, los niños de edad escolar aprenden gradualmente a
contar por grupos. Entre las más precoces de estas nuevas pautas se encuentran
contar por parejas, de cinco en cinco y de diez en diez.
NUMERACIÓN
Enumeración.
Los niños deben aprender que contar objetos implica algo más que agitar un dedo
señalando un conjunto o deslizarlo por encima de otro mientras pronuncian con
rapidez la serie numérica. Aunque los niños pequeños aprenden con rapidez al
menos la parte memorística de la serie numérica (véase, por ejemplo, Fuson y
Hall, 1983) y no tienen problemas para señalar los objetos de uno en uno
(Beckwith y Restle, 1966), coordinar estas dos técnicas para enumerar un
conjunto no es una tarea fácil. En realidad, la enumeración (sobre todo de
conjuntos con más de cuatro elementos) sólo llega a hacerse automática de una
manera gradual (Beckwith y Reside, 1966; Gelman y Gallistel, 1978, y Schaeffer
et al., 1974). Con colecciones grandes y, sobre todo, desordenadas, los niños
tienen que aprender estrategias para llevar la cuenta de los elementos que han
contado y los que no. Cuando los elementos se ponen en fila, hace falta poco
esfuerzo para no perder la cuenta si se empieza desde uno de los extremos. Si
la colección está colocada en círculo, el niño sólo necesita recordar el
elemento por el que ha empezado a contar. Con distribuciones desordenadas, el
niño debe recordar qué elementos ha etiquetado y cuáles quedan por etiquetar.
Esto se ve facilitado por el empleo de un método sistemático (por ejemplo,
contar de izquierda a derecha y de arriba abajo) o separando los elementos
etiquetados de los no etiquetados. Fuson (en prensa) encontró que muchos de sus
sujetos de párvulos no empleaban la estrategia de crear un montón aparte con
los elementos ya contados.
Regla del
valor cardinal. Al principio, los niños pueden no darse cuenta de que la
enumeración sirve para numerar. Cuando se les pide que cuenten un conjunto, los
niños se limitan a enumerarlo y esperan que esto, en sí mismo, satisfará al
adulto (cosa que ocurre a veces). Si se les pregunta cuántos objetos acaban de
contar, vuelven a enumerar todos los elementos del conjunto. Por ejemplo, ida,
una niña de tres años de edad, enumeró cuatro estrellas (“1, 2, 3, 4”) sin
hacer ningún intento serio de emplear o recordar la información. Cuando se le preguntó
cuántas estrellas había acabado de contar, alzó los hombros y volvió a
enumerarlas otra vez. Como la enumeración se contempla como un fin en sí misma
y no como un medio para llegar a un fin, los niños muy pequeños pueden no
llegar a comprender el sentido de preguntas como “¿Cuántos hay?”. Ni
preocuparse de recordar los resultados de lo que han contado.
Cuando tienen cerca de dos años, muchos niños
desarrollan una conciencia primitiva de que contar es un procedimiento empleado
para asignar números a colecciones (para responder a preguntas del tipo
“¿Cuántos hay?”). Ahora ya realizan el intento de recordar lo que han contado.
Sin embargo, como no se dan cuenta de que el proceso de enumeración se puede
resumir, responden a este tipo de preguntas repitiendo la serie numérica.
Después de “soltar” varios términos (“7, 8, 9”) o de repetir el mismo (“9, 9,
9”) ante un conjunto de tres objetos, un niño de dos años puede designar este
conjunto volviendo a contar (por ejemplo, “7, 8, 9” o “9, 9, 9”) (Wagner y Walters,
1982). Aun después de haber aprendido a enumerar correctamente, los niños
pueden no darse cuenta de que es innecesario recitar otra vez toda la secuencia
cuando se les pregunta por una cantidad. Por ejemplo, después de enumerar
cuatro estrellas que había en una tarjeta, George (sin volver a mirar la
tarjeta) respondió a la pregunta ¿”Cuántas estrellas hay”? con: “Pues hay 1, 2,
3 y 4 estrellas”. Sin embargo, a una edad tan corta como los dos años y medio
de edad, algunos niños descubren el “atajo” consistente en recitar la última
etiqueta del proceso de enumeración para indicar la cantidad. En el fondo, la
regla del valor cardinal traduce el término aplicado a un elemento determinado
de un conjunto (el último) al término cardinal que representa el conjunto
entero.
Regla de la
cuenta cardinal: La regla inversa a la del valor cardinal es la regla de la
cuenta cardinal. Esta regla específica que un término cardinal como “5” es la
etiqueta asignada al último elemento cuando se enumera un conjunto de cinco
objetos (Fuson y Hall, 1983). Parece que los niños tienen que aprender que un
término como cinco es al mismo tiempo el nombre de un conjunto (número
cardinal) y un número para contar. Consideremos el caso de un niño al que se da
un conjunto de cinco canicas junto con la consigna: “Aquí hay cinco canicas;
pon cinco e-Educa, Cibercultura para la Educación canicas en la taza.” El niño que no aprecia
la regla de la cuenta cardinal tiene que ponerse a contar las canicas a medida
que las va soltando en la taza. Este niño no puede prever que la etiqueta cinco
empleada para designar el conjunto es la misma que se debe aplicar al resultado
de contar el conjunto. En cambio, el niño que da por sentada la regla de la
cuenta cardinal se limita a colocar todo el conjunto en la taza sin contar.
Separación.
Contar (separar) un número concreto de objetos es una técnica que empleamos a
diario (por ejemplo, «Dame tres lápices», “Me quedare con cuatro camisas”,
“Toma cinco clavos”). Sin embargo, no se trata de una tarea cognoscitiva
sencilla porque implica: a) observar y recordar el número de elementos
solicitado (el objetivo); b) etiquetar cada elemento separado con una etiqueta
numérica, y c) controlar y detener el proceso de separación. En otras palabras,
se requiere almacenar el objetivo en la memoria de trabajo, un proceso de
enumeración y, al mismo tiempo, ir comparando los números del proceso de
enumeración con el número almacenado y detener este proceso cuando se llegan a
igualar (Resnick y Ford, 1981). La regla de la cuenta cardinal ofrece al niño
una razón para tomar nota del objetivo en la memoria de trabajo y constituye la
base para detener el proceso de enumeración (Baroody y Mason, 1984). Por
ejemplo, si se pide a un niño que separe tres lápices tiene que darse cuenta de
que para realizar la tarea es importante recordar “tres” y que debe parar de
contar lápices cuando llegue a la etiqueta “tres”.
BIBLIOGRAFIA.
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