SECUENCIA NUMÉRICA.
Se ha encontrado que los niños manejan la secuencia de
numerales desde muy temprano (por ejemplo, Gelman y Gallistel (1978), Fuson et
al, (1982)), pero es posible que sólo sepan que la secuencia de conteo5 se
compone de números, y que éstos han de repetirse siempre en el mismo orden (por
ejemplo, Baroody (1986), Fuson (1988)), sin que por ello se infiera una cierta
comprensión conceptual como, por ejemplo, que el orden de emisión de los
términos de la secuencia se mantiene constante a lo largo de sucesivas
aplicaciones de la misma, o que cada elemento de la lista es único, es decir,
aparece una y sólo una vez a lo largo de la emisión de la secuencia (Fuson,
1988).
De aquí llegamos a
deducir que existe, en primer lugar, un conocimiento memorístico en el recitado
de la secuencia, y en segundo lugar se alude a una comprensión conceptual de la
misma; dicha comprensión implica dos aspectos básicos: por un lado está el
orden en el que aparecen los términos en el recitado, el cual es una propiedad
invariante, lo que hace que los numerales estén entrelazados por una relación
de "siguiente"; y por otro lado está la propiedad antisimétrica que
nos garantiza que los elementos de la secuencia numérica no se repiten en el
recitado, de forma esquemática viene expresado en la siguiente tabla:
Fuson, Richards y Briars (1982) realizan un estudio
longitudinal transversal, que comprende desde los dos años hasta los ocho, para
analizar la adquisición y elaboración de la secuencia de numerales. Aunque
estas dos fases son diferentes, en algún momento llegan a solaparse, ya que se
precisa un largo período para adquirir y consolidar la secuencia estándar de
numerales. Por ejemplo, puede comenzar el proceso de establecimiento de
relaciones entre los primeros términos de la secuencia, mientras que se está
alargando el tamaño de la misma; en otras palabras, el primer fragmento de la
secuencia puede estar en fase de elaboración, mientras que el extremo final de
la misma está en plena fase de adquisición.
Durante la fase de
adquisición, se realiza el aprendizaje de la secuencia convencional y el niño
comienza a aplicarla en situaciones de conteo. En esta fase la secuencia funciona
como una estructura global unidireccional que consta de los siguientes
fragmentos: una parte inicial estable y convencional; a continuación un
fragmento estable no convencional; y la parte final, compuesta por fragmentos
que no son convencionales ni estables.
Para Fuson et al,
dentro de las porciones no estables de la secuencia existen series crecientes
ordenadas ya que la mayoría de los fragmentos estables no convencionales
difieren de la secuencia convencional tan sólo en la omisión de alguno de sus elementos.
En la fase de adquisición se dan tanto errores de omisión
como de repetición. En los primeros se respetan algunos esquemas lógicos de
ordinación, por ejemplo se mantiene el orden creciente de los números en el
recitado de la secuencia; mientras que en algunos errores de repetición, los
que Baroody (1986) llama "errores de reciclaje" (por ejemplo,
"1, 2,… 9, 1, 2,…") se manifiestan algunos esquemas lógicos de la
secuencia convencional como puede ser la aparición del esquema cíclico de la
seriación.
En la fase de elaboración, los vínculos entre los elementos
de la secuencia se fortalecen y los términos contiguos (junto a la relación que
los entrelaza) pueden emitirse al margen de la secuencia global. De este modo,
cada término de la secuencia puede emplearse como elemento de apoyo para
recordar el término inmediatamente anterior o posterior. La fase de
elaboración, según Fuson y otros (1982), se subdivide en cinco niveles.
En otro orden de cosas y siguiendo con la secuencia numérica
como componente del conteo, nos vamos a centrar en un aspecto importante del
que hasta ahora no hemos hecho mención y es lo relativo al carácter
convencional o social de los términos.
La cuestión que queremos abordar en este momento es ver si
cualquier "lista" vale para contar o si, por el contrario, la
"secuencia numérica" goza de un estatus especial que la hace
insustituible.
Respecto a la
cuestión planteada nos encontramos con diferentes posturas: así para Gelman y
Gallistel (1978) con el principio de orden estable, para Wagner y Walters
(1982) quienes distinguen una forma "fuerte" y otra "débil"
del mismo principio, así como para Saxe(1981), cualquier lista vale, mientras
que autores como Song y Ginsburg (1988) o Fuson (1988 a) defienden que la
secuencia de numerales es insustituible. Ante esta discusión, nosotros nos
centraremos en el uso de la secuencia numérica frente a cualquier otra lista, y
ésto por varias razones:
• Es un aprendizaje temprano en el niño, si se quiere por
razones socioculturales.
• La serie numérica tiene características estructurales
propias-intrínsecas que no tiene cualquier otra serie a no ser que se le
aplique un isomorfismo estructural a una secuencia de diez dígitos pero que ya
nos alejaríamos del conocimiento incipiente, en el niño, del recitado de la
secuencia.
Saxe, Becker, Sadeghpour y Sicilian (1989) realizan un
interesante trabajo para determinar las diferencias evolutivas en la
comprensión mostrada por los niños acerca de la naturaleza arbitraria de los
numerales en tanto que son símbolos culturales. Analizan directamente la
comprensión mostrada por los niños respecto a la posibilidad de sustituir la
lista de numerales estándar por una lista de símbolos diferenciables (el
alfabeto, por ejemplo).
Los resultados de
Saxe et al. revelan que la mayoría de los niños de seis años son capaces de
apreciar la necesidad de la correspondencia uno a uno y la arbitrariedad de los
símbolos numéricos, de modo que los niños advierten progresivamente que en
tanto se preserve el principio de correspondencia uno a uno cualquier lista de
símbolos puede servir para realizar el conteo.
Fuson (1988 a) justifica que la secuencia de numerales es
insustituible según cuatro puntos de apoyatura:
1. La información
aportada por algunos estudios en los que se muestra que los niños conciben la
lista convencional de numerales como un instrumento que ninguna otra lista
puede sustituir.
2. El hecho de que los niños juzguen como erróneos los
conteos en los que una marioneta no aplica debidamente la secuencia de conteo.
3. El segmento
estable convencional que encabeza todas las secuencias emitidas por los niños
(incluso a partir de los dos años y medio), ya que reflejan los intentos
realizados por los mismos para aprender "la lista especial" de conteo
4. La anterioridad de las secuencias estables sobre la
comprensión de la cardinalidad.
No podemos dejar de considerar las aportaciones de Song y
Ginsburg (1988) con sus estudios sobre la naturaleza de los elementos de la
secuencia de conteo. En estos estudios transculturales se observa que en casi
todos los lenguajes los numerales hasta 100 se producen a través de un sistema
basado en reglas para combinar unidades y decenas.
Para lograr el dominio de la secuencia el niño recorre cinco
niveles: Nivel Cuerda. La sucesión empieza en uno y los términos no están
diferenciados.
Nivel Cadena
Irrompible. La sucesión comienza en uno y los términos están diferenciados.
Nivel Cadena Rompible.
La sucesión puede comenzar en un término cualquiera.
Nivel Cadena Numerable.
Contar n términos desde a hasta b.
Nivel Cadena
Bidimensional. Desde un término cualquiera, a, se puede recorrer la
sucesión en ambas direcciones.
Una vez alcanzado este nivel (en un tramo de la secuencia)
es posible obtener relaciones entre estos números tales como: “después del
número a viene el b”; “delante del número c está el d”; “antes de”, “después
de”. El dominio de la secuencia permitirá utilizar el número en los demás
contextos.
Principio de orden
estable. Para contar, los términos de la secuencia se han de recitar,
siempre, en el orden establecido. Principio de correspondencia. Al contar los
elementos de un conjunto, ya hemos dicho, se va recitando la secuencia y a la
vez, se van señalando los elementos del conjunto.
Principio de
biunivocidad. En el proceso anterior, no basta solo con establecer una
correspondencia entre palabra numérica y objeto, sino que dicha correspondencia
ha de ser biunívoca. Esto supone que; a cada elemento del conjunto se le
asignará una palabra numérica y recíprocamente; cada palabra estará asociada
con un elemento.
Principio de cardinalidad. El último
término obtenido, al contar todos los objetos de la colección, indica el número
de objetos que tiene dicha colección.
Principio de irrelevancia del orden. El cardinal de un
conjunto, o sea, el número de elementos obtenidos al contar, no depende del
orden en que estén dispuestos los elementos para contarlos.
Principio de
abstracción. Cualquier conjunto o colección de objetos es contable. Puede
suceder que los elementos que forman el conjunto sean todos homogéneos
(lápices), o que no lo sean (lápices y bolígrafos), en este último caso puede
haber problemas, pues el resultado de contar habrá que expresarlo en una categoría
superior que comprenda a las dos anteriores como subconjuntos (útiles para
escribir).
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